Ve thanh cong ban do cua mot trong nhung cau truc toan hoc phuc tap nhat

Cac nha toan hoc da lap duoc ban do van hanh ben trong cua mot trong nhung cau truc phuc tap nhat tung duoc nghien cuu: Vat the nay chinh la cau truc E8 khac thuong thuoc nhom Lie. Thanh tuu nay rat co y nghia ca ve mat tien bo kien thuc co ban va ca boi vi co nhieu moi lien he giua E8 va cac lanh vuc khac, bao gom ca ly thuyet day (string theory) va hinh hoc.

Do lon cua ket qua tinh toan nay co the gay choang vang: ket qua tinh toan neu duoc in ra co nho, se co the bao phu toan bo khu vuc vung Manhattan. Cac nha toan hoc duoc biet la co phong cach lam viec mot minh, nhung “cuoc dot kich” E8 , mot phan cua mot cong trinh nghien cuu lon, da mang 18 nha toan hoc tu My va Chau Au ngoi lai voi nhau de cung hop tac chat che trong vong 4 nam troi.

“Dieu nay that thu vi,” ong Peter Sarnak, giao su toan truong dai hoc Princeton (khong tham gia vao cong trinh nghien cuu nay), noi. “Hieu duoc va phan loai duoc cac dai dien cua nhom Lie la mau chot de co the hieu duoc cac hien tuong trong nhieu linh vuc toan hoc va khoa hoc khac nhau, bao gom dai so, hinh hoc, ly thuyet so, Vat ly va Hoa hoc. Cong trinh nghien cuu nay rat quy gia cho cac nha toan hoc va khoa hoc trong tuong lai.”

Lon hon bo gen cua con nguoi

He thong nghiem cua E8 bao gom 240 vecto theo khong gian 8 chieu. Nhung vecto nay la cac dinh (goc) cua vat the 8 chieu goi la Gosset polytope 421. Vao thap nien 60, Peter McMullen da ve (bang tay) mot dai dien 2 chieu cua Gosset polytope 421. Anh tren duoc tao ra bang may vi tinh, dua tren hinh ve cua McMullen. (Anh: Duoc cung cap boi Vien Toan Hoc Hoa Ky)

Giong nhu cong trinh nghien cuu bo gen con nguoi, cac ket qua nay chi la su khoi dau. Theo chu nhiem cong trinh nghien cuu Jeffrey Adams thi, “day la nghien cuu co ban mang nhieu ham y, hau het nhung ham y nay chung ta van chua hieu duoc. Giong nhu bo gen con nguoi khong cho ban mot loai thuoc than duoc ngay lap tuc, cac ket qua cua chung toi la mot cong cu co ban ma con nguoi co the su dung de phat trien nghien cuu trong cac linh vuc khac.” Cong trinh nghien cuu nay co the khong doan truoc duoc nhung ham y trong toan hoc va vat ly, nhung ham y ma khong co trong nhieu nam qua.

Ong Hermann Nicolai, giam doc Vien Albert Einstein o Bonn, Duc (khong tham gia vao cong trinh nghien cuu nay) phat bieu “day la mot thanh tuu an tuong. Trong khi cac nha toan hoc tu lau da biet ve ve dep va su doc dao cua cau truc E8, thi chung toi, nhung nha vat ly, phai danh gia cao vai tro dac biet cua no chi moi trong thoi gian gan day - tuy nhien, voi no luc cua chung toi trong viec hop nhat trong luc voi cac luc co ban khac thanh ly thuyet trong luc luong tu thich hop, chung toi gio day da phai cham tran voi no o hau het moi ngo ngach! Vi vay, hieu duoc su van hanh ben trong cua cau truc E8 khong chi la su tien bo vi dai cho cac nha toan hoc don thuan, ma con co the giup cac nha vat ly trong viec truy tim ra mot ly thuyet hop nhat.”

Ket qua tinh toan cau truc E8

Nhom nghien cuu tinh toan ra cau truc E8 bat dau nghien cuu tu 4 nam ve truoc. Ho gap nhau tai Vien Toan Hoc Hoa Ky moi mua he, va lam viec voi nhau theo tung nhom nho trong suot nam. Cong viec cua ho doi hoi toan hoc ly thuyet va lap trinh may tinh phuc tap.

Thanh vien cua nhom, Ong David Vogan tu vien MIT noi, “Tai lieu cho mon nay rat nhieu va rat kho hieu. Ngay ca sau khi chung toi da hieu duoc toan hoc co ban roi, chung toi cung phai mat hon 2 nam de thuc hien no tren may tinh.”

Va sau do la den van de phai tim duoc mot may tinh du lon de lam cac tinh toan. Mat them mot nam nua de nhom nghien cuu thuc hien cac tinh toan sao cho hieu qua hon de no co the phu hop voi cac sieu may tinh hien tai, nhung no van vuot qua dung luong cua o cung cua cac may tinh nay.

Nhom nghien cuu phai du tinh den viec doi mot chiec may tinh lon hon thi ong Noam Elkies truong dai hoc Havard da tim ra duoc cach thuc hien mot so phien ban nho cua viec tinh toan nay, moi phien ban nay se cho ra mot phien ban chua hoan chinh cua cau tra loi. Nhung cau tra loi chua hoan chinh nay co the rap lai voi nhau de dua ra loi giai cuoi cung. Chi phi la phai thuc hien viec tinh toan nay den 4 lan, cong them thoi gian de ket hop cac cau tra loi chua hoan chinh voi nhau. Cuoi cung, mat khoang 77 tieng de thuc hien viec tinh toan tren sieu may tinh Sage.

Do thi nay mieu ta cau truc toan hoc tuong tu nhu cau truc E8 nhung nho hon rat nhieu so voi E8. (Anh: David Vogan, MIT)

Su doi xung dep mat

O muc co ban, viec tinh toan cau truc E8 la nghien cuu tinh doi xung. Cac nha toan hoc da phat minh ra nhom Lie de nam duoc ban chat cua tinh doi xung: lam nen tang cho bat cu vat the doi xung nao, nhu khoi cau, la mot nhom Lie.

Nhom Lie chia ra thanh nhieu nhom. Cac nhom co dien nhu A1, A2, A3, ... B1, B2, B3, ... C1, C2, C3, ... va D1, D2, D3, ... len cao giong nhu cac ngon doi chay thoai thoai ve huong duong chan troi. Nho ra khoi phong canh toan hoc nay la cac dinh lom chom cua cac nhom dac biet G2, F4, E6, E7, vuot han len tat ca chung la E8. E8 la nhom phuc tap la thuong nhat: No la cac doi xung cua vat the 57 chieu rieng biet va ban than cau truc E8 la 248 chieu.

De mieu ta duoc ket qua moi nay doi hoi mot muc truu tuong hon nua. Cac cach ma E8 bieu thi chinh no nhu mot nhom doi xung duoc goi la cac dai dien. Muc tieu dat ra la mieu ta het toan bo cac dai dien co the cua E8 Nhung dai hien nay cuc ky phuc tap, nhung cac toan hoc da mieu ta chung theo hinh thuc cac khoi hop nhat co ban. Ket qua moi la mot danh sach hoan chinh nhung khoi hop nhat nay doi voi cac dai dien cua E8, va su mieu ta chinh xac cac moi quan he giua chung, tat ca duoc giai ma theo mot ma tran voi 205.263.363.600 muc.

Tap ban do cua cong trinh nghien cuu nhom Lie

Viec tinh toan cau truc E8 la mot phan cua cong trinh nghien cuu tham vong duoc biet den voi ten “Tap Ban Do Cua Cong Trinh Nghien Cuu Nhom Lie va Cac Dai Dien”. Muc tieu cua cong trinh nghien cuu tap ban do nay la xac dinh cac dai dien don nhat cua tat ca cac nhom Lie. Day la mot trong nhung bai toan chua giai duoc lon nhat ke tu dau the ky 20. Su thanh cong cua viec tinh toan ra cau truc E8 da dep bot nhieu nghi ngo ve kha nang nhom nghien cuu tap ban do co the hoan thanh cong trinh nghien cuu nay.

Cong trinh nghien cuu tap ban do duoc tai tro boi Quy Khoa Hoc Quoc Gia thong qua Vien Toan Hoc Hoa Ky.